Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=2，．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大小；
（3）求点C到平面VAB的距离．

Answer

（1）三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，以CA为x轴，以CB为y轴，以CV为z轴，建立空间直角坐标系，由此能够证明AB⊥平面VCD，故平面VAB⊥平面VCD．
（2）由AB⊥平面VCD，知∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的大小．
（3）先求出平面VAB的法向量，利用向量法能够求出点C到平面VAB的距离．
（1）证明：∵三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴以CA为x轴，以CB为y轴，以CV为z轴，建立空间直角坐标系，
∵D是AB的中点，且AC=BC=2，，
∴V（0，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），C（0，0，0）
∴，，，
∴=-2+2+0=0，，
故AB⊥CD，AB⊥CV，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）【解析】
由（1）知AB⊥平面VCD，
∴∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，
∵AC=BC=2，，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴VC=CD=，VC⊥CD，
∴∠VDC=，
故二面角V-AB-C的大小为．
（3）【解析】
∵V（0，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
∴，，=（0，0，），
设平面VAB的法向量为，
则，
∴，解得，
∴点C到平面VAB的距离d===1．