Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）求AC与A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

Answer

以B1为坐标原点，建立空间坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可求出各顶点的坐标
（1）分别求出AC与A1D方向向量，代入向量夹角公式，可得AC与A1D所成角的大小；
（2）要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．求出AB1与C1D的方向向量，通过证明向量平行，得到AB1与C1D平行，同理证明出AD1与C1B平行，可得结论．
（3）求出A1C的方向向量，并证明A1C的方向向量是平面BDC1的法向量，可得A1C⊥平面BDC1．
【解析】
令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以B1为坐标原点，建立空间坐标系如下图所示：

（1）则A（0，1，1），C（1，0，1），A1（0，1，0），D（1，1，1）
∴=（1，-1，0），=（1，0，1）
设AC与A1D所成角的大小为θ
则cosθ==
故θ=
证明：（2）∵==（0，-1，-1）
∴AB1∥C1D，
又∵AB1⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，
∴C1D∥平面AB1D1，
同理可证：C1B∥平面AB1D1．
又C1B∩C1D=C1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1．
（3）=（1，-1，1），=（1，1，0），=（1，0，-1）
∴•=0，即⊥，即A1C⊥BD
且•=0，即⊥，即A1C⊥BC1．
∵BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1．
∴A1C⊥平面BDC1．