Question

已知圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，试证明：
①圆台的侧面积公式为：S_{圆台侧面积}=π（r+R）l；
②表面积公式为：S=π（R²+r²+Rl+rl）．

Answer

把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，设AB=x，BC=l，利用三角形相似可用R，r，l表示出x，根据S圆台侧=S扇形ACD-S扇形ABE可证明出圆台的侧面积公式，加上两个底面面积后，可证得圆台的表面积公式．
证明：把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，如下图：
设AB=x，BC=l，
∵△ABF∽△ACG．
∴=，∴x=．
∴S圆台侧=S扇形ACD-S扇形ABE
=•2πR（x+l）-•2πr•x
=πRl+π（R-r）•
=π（R+r）l
∴S圆台表面积=π（R+r）l+πR2+πr2
=π（Rl+rl+R2+r2）．