Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求二面角A-EF-B的余弦值．

Answer

（1）在图甲中，由AB=BD，且∠A=45°，能推导出AB⊥BD；在图乙中，由平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，能推导出AB⊥CD．由此能够证明DC⊥平面ABC．
（2）法一：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EF-B的余弦值．
法二：由题知，EF∥DC，故EF⊥平面ABC．由BE在平面ABC内，AE在平面ABC内，知∠AEB为二面角B-EF-A的平面角利用余弦定理能求出二面角A-EF-B的余弦值．
（1）证明：在图甲中，
∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，AB⊥BD，（2分）
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，
∴AB⊥CD． （4分）
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC．    （6分）
（2）解法一：如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图示，
设CD=a，则BD=AB=2a，BC=，AD=2，
∴A（0，0，2a），B（0，0，0），D（2a，0，0），C（），
则E（，，a），F（a，0，a），
∴，
，
，，
设平面ACD的法向量为=（x1，y1，1），平面BEF的法向量，（8分）
则；
．
解得=（1，，1），=（-1，-，1），（10分）
∴cos＜＞==-．
即所求二面角A-EF-B的余弦值为-．（12分）
解法二：由题知，EF∥DC，
∴EF⊥平面ABC．
又∵BE在平面ABC内，AE在平面ABC内，
∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角，（9分）
设CD=a，则BD=AB=2a，BC=，
在△AEB中，AE=BE===，
∴cos∠AEB==-，
即所求二面角B-EF-A的余弦为-．（12分）