Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[]，则a+b=（ ）
A．1
B．
C．
D．

Answer

根据题意，先由奇函数的性质，分析可得x＞0时，f（x）=2x-x2，对于正实数a、b，分三种情况讨论：①、当a＜1＜b时，②、当a＜b＜1时，③、当1≤a＜b时，结合二次函数的性质，分析可得a、b的值，将其相加可得答案．
【解析】
设x＞0，有-x＜0，则f（-x）=-2x+x2，
又由y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
则x＞0时，f（x）=2x-x2，
对于a、b分三种情况讨论：
①、当a＜1＜b时，f（x）=2x-x2的最大值为1；得=1，即a=1，不合题意，舍去，
②、当a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，而＞1，不合题意，舍去，
③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，可得，解可得a=1，b=，符合题意，
则a+b=；
故选D．