Question

（1）圆O是△ABC的外接圆，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点D，，AB=BC=3，求BD以及AC的长．
（2）已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C₂的极坐标方程为，曲线C₁，C₂相交于A，B两点
（I）把曲线C₁，C₂的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（II）求弦AB的长度．
（3）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

Answer

（1）结合线割线定理，我们可以求出DB的长，再由△DBC∽△DCA根据相似三角形的性质可以求出AC的长；
（2）（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度；
（3）左边减去右边等于2（ab+bc-ac ），用等比数列的定义以及基本不等式可得 a+c＞b，进而推出2（ab+bc-ac ）＞0，从而证得不等式成立．
（1）【解析】
由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，
∴DB2+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴，
∴AC==；
（2）【解析】
（Ⅰ）曲线C2：θ=表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，所以x2+y2=6x，即（x-3）2+y2=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离d=，r=3，
∴弦长AB=2=3
（3）证明：∵a2+b2+c2 -（a-b+c）2=2（ab+bc-ac ）．
∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，
∴b2 =ac＜（）2，
开方可得＞b，故 a+c＞2b＞b．
∴2（ab+bc-ac ）=2（ab+bc-b2 ）=2b（a+c-b）＞0，
∴a2+b2+c2 -（a-b+c）2＞0，
∴a2+b2+c2＞（a-b+c）2 ．