Question

某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：

ξ		1	2	3
P	0.12	a	b	0.12

（1）求p，q的值；
（2）求数学期望Eξ

Answer

（1）用A表示“该生语文课程取得优秀成绩”，用B表示“该生数学课程取得优秀成绩”，用C表示“该生英语课程取得优秀成绩”，由题意得P（）=（1-0.5）（1-p）（1-q）=0.12，P（ABC）=0.5pq=0.12，由此能求出p，q．
（2）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．
【解析】
（1）用A表示“该生语文课程取得优秀成绩”，
用B表示“该生数学课程取得优秀成绩”，
用C表示“该生英语课程取得优秀成绩”，
由题意得P（A）=0.5，P（B）=p，P（C）=q，p＜q，
P（）=（1-0.5）（1-p）（1-q）=0.12，
P（ABC）=0.5pq=0.12，
解得p=0.4，q=0.6．
（2）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.12，
P（ξ=1）=P（）+P（）+P（）
=0.5×（1-0.4）×（1-0.6）+（1-0.5）×0.4×（1-0.6）+（1-0.5）×（1-0.4）×0.6
=0.38，
P（ξ=2）=P（AB）+P（A）+P（）
=0.5×0.4×（1-0.6）+0.5×（1-0.4）×0.6+（1-0.5）×0.4×0.6
=0.38，
P（ξ=3）=0.12，
∴Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．