Question

已知函数f（x）=2x（e^x-1）-x²（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）有且只有两个零点；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数h（x）=-f（-x）-x²+x的图象关于直线x=l对称．证明：当x＞l时，h（x）＞g（x）；
（3）如果一条平行x轴的直线与函数y=h（x）的图象相交于不同的两点A和B，试判断线段AB的中点C是否属于集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，并说明理由．

Answer

（1）显然0是函数f（x）的零点，令g（x）=2（ex-1）-x，证明函数g（x）在（ln，+∞）上有一个零点即可；
（2）根据函数y=g（x）的图象与函数h（x）=-f（-x）-x2+x的图象关于直线x=l对称，可得函数y=g（x）的解析式，构造F（x）=h（x）-g（x），确定单调性，即可得到结论；
（3）h′（x）=（1-x）e-x，确定函数的单调性，可得函数在x=1处取得极大值，进而判断（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1，利用h（x2）＞g（x2）=h（2-x2），即可得到结论．
（1）证明：显然0是函数f（x）的零点，令g（x）=2（ex-1）-x，则g′（x）=2ex-1
令g′（x）=0，则x=ln，∴函数在（-∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）上单调递增
∵0是函数g（x）的零点，0∈（-∞，ln），g（ln）＜0
∴函数g（x）在（ln，+∞）上有一个零点
∴函数f（x）有且只有两个零点；
（2）证明：函数y=g（x）上取点（x，y），则关于直线x=l对称的点为（2-x，y），
∵函数h（x）=-f（-x）-x2+x=xe-x，∴y=e2-x，
令F（x）=h（x）-g（x）=xe-x-e2-x，则F′（x）=e-x-xe-x-e2-x，
∴x＞1时，F′（x）＞0，∴F（x）＞F（1）=0，∴当x＞l时，h（x）＞g（x）；
（3）【解析】
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），
h′（x）=（1-x）e-x，当h′（x）＞0，即x＞1时，h（x）为增函数；当h′（x）＜0，即x＜1时，h（x）为减函数，
∴函数在x=1处取得极大值
①若（x1-1）（x2-1）=0，由h（x1）=h（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾；
②若（x1-1）（x2-1）＞0，由h（x1）=h（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾；
根据①②可得（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1
由（2）可知h（x2）＞g（x2）=h（2-x2），∴h（x1）=h（x2）＞g（x2）=h（2-x2），
∵x2＞1，∴2-x2＜1
∵x1＜1，h（x）在（-∞，1）上为增函数
∴x1＞2-x2，∴x1+x2＞2，∴x＞1
∴线段AB的中点C不属于集合M．