Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是钝角三角形
④若，则△ABC是等边三角形
其中正确的命题个数是    ．

Answer

①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，可知①不正确．
②若sinB=cosA，找出∠A和∠B的反例，即可判断△ABC是直角三角形错误，故②不正确．
③由sin2A+sin2B＞sin2C，结合正弦定理可得a2+b2＞c2，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C为锐角．
④利用正弦定理，化简，可得sin=sin=sin，从而可得 ==．
【解析】
①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．
②若sinB=cosA，例如∠B=100°和∠A=10°，满足sinB=cosA，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．
③若sin2A+sin2B＞sin2C，则a2+b2＞c2，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C为锐角，故③不正确．
④利用正弦定理边角互化，由，可得sin=sin=sin，从而可得 ==，即A=B=C，故④正确
故答案为：1