Question

等差数列{a_n}中，公差d不为0，且a₁，a₃，a₉恰好是某等比数列的前三项．
（1）求该等比数列的公比；
（2）这个等差数列中是否存在某一项恰好是这个等比数列的第四项，若存在，请求出是等差数列的第几项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意可得a32=a1•a9，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出等比数列的公比；
（2）确定数列的通项，即可求得结论．
【解析】
（1）∵等差数列{an}中，a1，a3，a9恰好是某等比数列的前三项
∴a32=a1•a9，
∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴d2=a1d，
∵d≠0，∴d，=a1，∴q==3；
（2）由（1）知an=a1+（n-1）×a1=na1，
∵a1•33=27a1，
∴等差数列中第27项恰好是这个等比数列的第四项．