Question

已知函数满足对任意的实数x₁≠x₂都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，2）
B．
C．（-∞，2]
D．

Answer

根据题意，分段函数f（x）是定义在R上的减函数．因为当x＜2时，f（x）=（）x-1是减函数，所以当x≥2时，函数f（x）=（a-2）x也为减函数，可得a＜2．同时还需满足：在x=2处，指数式的取值大于或等于一次式的取值，解之得a≤，最后综合可得实数a的取值范围．
【解析】
∵对任意的实数x1≠x2都有成立，
∴当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），可得函数f（x）是定义在R上的减函数
因此，①当x≥2时，函数f（x）=（a-2）x为一次函数且为减函数，有a＜2…（*）；
②当x＜2时，f（x）=（）x-1也是减函数．
同时，还需满足：2（a-2）≤（）2-1，解之得a≤，再结合（*）可得实数a的取值范围是：
故选B