Question

已知函数f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），若过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，求a的值．

Answer

由f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），得f′（x）=3x2-2（k2-1）x，由此求出过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线的斜率k=3-2（k2-1），再由过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，解得k2=3．由此求出f（x），把P（1，a）代入，求得a．
【解析】
∵f（x）=x3-（k2-1）x2-k2+2（k∈R），
∴f′（x）=3x2-2（k2-1）x，
∴过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线的斜率k=f′（1）=3-2（k2-1），
∵过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，
∴3-2（k2-1）=-1，解得k2=3．
∴f（x）=x3-2x2-1，
把P（1，a）代入，得a=1-2-1=-2．