Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x²．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a-2，6b-6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设x＜0，则-x＞0，利用x≥0时，f（x）=x+x2．得到f（-x）=-x+x2，再由奇函数的性质得到f（-x）=-f（x），代换即可得到所求的解析式．
（2）假设存在这样的数a，b．利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．
【解析】
（1）设x＜0，则-x＞0，于是f（-x）=-x+x2，
又f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-x+x2，
即x＜0时，f（x）=x-x2．…（4分）
（2）假设存在这样的数a，b．
∵a≥0，且f（x）=x+x2在x≥0时为增函数，…（6分）
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a-2，6b-6]，
∴…（8分）
，即…（10分）
或，考虑到0≤a＜b，且4a-2＜6b-6，…（12分）
可得符合条件的a，b值分别为…（14分）