Question

已知函数，
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer

（1）根据使函数的解析式有意义的原则，结合对数函数的真数部分必须大于0，可以构造关于x的不等式，可得函数的定义域；
（2）取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，根据对数的运算性质及指数函数的性质，判断出f（x1），f（x2）的大小，结合函数单调性的定义可得函数的单调性．
【解析】
（1）要使函数的解析式有意义
自变量必须满足2x-1＞0
即2x＞1=2
∴x＞0，
即f（x）的定义域为{x|x＞0}---------（5分）
（2）f（x）的在定义域内为增函数．理由如下：
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
-----------------（8分）
∵x2＞x1＞0
∴
∴
∴------------------------------------（10分）
f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）为定义域内增函数--------------------（12分）