Question

已知f（x）=x²-1，g（x）=
（1）求f[g（2）]和g[f（2）]；
（2）求f[g（x）]和g[f（x）]的表达式．

Answer

（1）根据g（x）为分段函数的性质求出g（2），再代入f（x）进行求解，同理可求出g[f（2）]的值；
（2）已知f（x）=x2-1，g（x）=，需要分类讨论，再利用整体法进行代入求解；
【解析】
（1）∵f（x）=x2-1，g（x）=
∴g（2）=2-1=1，f（2）=22-1=3，
∴f[g（2）]=f（1）=12-1=0，
g[f（2）]=g（3）3-1=2；
（2）若x＞0，可得g（x）=x-1，可得f[g（x）]=（x-1）2-1=x2-2x；
若x＜0，可得g（x）=2-x，可得f[g（x）]=（2-x）2-1=x2-4x+3；
∴f[g（x）]=；
∵f（x）=x2-1≥-1，
若x＞1或x＜-1，可得x2-1＞0，
∴g[f（x）]=x2-1-1=x2-2；
若-1＜x＜1，可得x2-1＜0，
∴g[f（x）]=2-（x2-1）=-x2+3；
∴g[f（x）]=；