Question

等差数列{a_n}的公差d不为0，S_n是其前n项和，给出下列命题：
①若d＜0，且S₃=S₈，则S₅和S₆都是{S_n}中的最大项；
②给定n，对于一切k∈N^*（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n；
③若d＞0，则{S_n}中一定有最小的项；
④存在k∈N^*，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同号．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

根据等差数列的求和公式sn=na1+d=n2+（a1-）n，因为d小于0得到sn是开口向下的抛物线，根据S3=S8得到抛物线的对称轴即可得到最大项，得到①正确；同理d大于0时，得到函数的最小项，③正确；根据等差中项的性质得到②正确；根据等差数列的通项公式和等差数列的性质得到ak-ak+1和ak-ak-1异号即④错．
【解析】
因为{an}成等差数列，所以其前n项和是关于n的二次函数的形式且缺少常数项，d＜0说明二次函数开口向下，又S3=S8，说明函数关于直线x=5.5对称，所以S5、S6都是最大项，①正确；
同理，若d＞0，说明函数是递增的，故{Sn}中一定存在最小的项，③正确；
而②是等差中项的推广，正确；
对于④，ak-ak+1=-d，ak-ak-1=d，因为d≠0，所以二者异号．
所以正确命题的个数为3个．
故选B