Question

已知函数f（x）=的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．
（1）求a与b的值；
（2）若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由f（x）为奇函数得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出a，b，再检验f（x）为奇函数即可；
（2）由（1）可求出f（x）表达式，该问题可转化为x∈[-1，1]时，f（x）max＜2t2-λt+1对任意t恒成立，结合二次函数图象可得λ的限制条件．
【解析】
（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴，
即，解得，此时f（x）=，经检验可得f（-x）=-f（x），
故a=2，b=1．
（2）f（x）=
=-+，可知f（x）在R上是减函数，又x∈[-1，1]，∴f（x）的最大值为f（-1）=．
∵对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t2-λt+1恒成立，
∴2t2-λt+1＞，即2t2-λt+＞0，则有△＜0，即，解得．
所以实数λ的取值范围是{λ|}．