Question

椭圆的离心率e=，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由O到直线l的距离为，l：y=x-c，知，c=1．由e=，知，b2=1．由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）设y=k（x-1）（k≠0）由，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．由此能求出求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程．
【解析】
（1）∵O到直线l的距离为，l：y=x-c，
∴，∴c=1．
∵e=，∴，∴b2=1．
∴椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）设y=k（x-1）（k≠0）
由，消去y得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．
∴，
∴．
∵，
∴x=，
∴y=．
将P点坐标代入椭圆得，
∴，∴，．
当时，，直线，
当时，，直线．