Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）可得对称轴为x=1，可设f（x）=a（x-1）2+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）根据 f（x）在区间[3a，a+1]上是单调函数则对称轴应该在区间的左侧或在区间的右侧，从而可求出a的取值范围．
解（1）由已知，设f（x）=a（x-1）2+1，由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x2-4x+3．
（2）二次函数的对称轴为x=1，
当对称轴在区间的左侧时，函数f（x）在区间[3a，a+1]上单调递增，即3a≥1解得，
当对称轴在区间的右侧时，函数f（x）在区间[3a，a+1]上单调递减，即a+1≤1解得a≤0，
综上，实数a的取值范围为