Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x₁∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅲ）证明：∀A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数

Answer

（Ⅰ）由题意中的定义和集合A、B求出A-B，再由A与B之间的距离公式，求出d（A，B）；
（Ⅱ）根据题意设出集合A、B、C，则ai，bi，ci∈{0，1}（i=1，2，，n），故得A-B∈Sn，再分ci=0和ci=1两种情况求出d（A-C，B-C）和d（A，B）；
（Ⅲ）根据题意设出集合A、B、C，再根据（Ⅱ）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，A-B=（|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|）=（1，0，1，0，1），
d（A，B）=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3
（Ⅱ）证明：设A=（a1，a2，，an），B=（b1，b2，，bn），C=（c1，c2，，cn）∈Sn
因为a1，b1∈{0，1}，所以|a1-b1|∈{0，1}（i=1，2，，n）
从而A-B=（|a1-b1|，|a2-b2|，|an-bn|）∈Sn
由题意知ai，bi，ci∈{0，1}（i=1，2，，n）
当ci=0时，||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|
当ci=1时，||ai-ci|-|bi-ci||=|（1-ai）-（1-bi）|=|ai-bi|
所以
（Ⅲ）证明：设A=（a1，a2，，an），B=（b1，b2，，bn），C=（c1，c2，，cn）∈Sn，
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
记0=（0，0，0）∈Sn由（Ⅱ）可知
所以|bi-ai|（i=1，2，，n）中1的个数为k，|ci-ai|（i=1，2，，n）中1的个数为l
设t是使|bi-ai|=|ci-ai|=1成立的i的个数．则h=l+k-2t
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数
即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．