Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若f（x）≤2x²，求实数a的取值范围；
（III）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）先求出函数定义域，在定义域内解含参的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；
（2）函数f（x）≤2x2恒成立，即lnx-x2-ax≤0（x＞0）恒成立．分离变量，得a≥-x恒成立，则只需a大于等于-x的最大值即可．用导数可求出-x的最大值．
（3）构造函数r（x）=lnx-，用导数可判断其在（0，+∞）上单调递增，从而r（x）＞r（1），再令x=1+，得到一不等式，n分别取1，2，…，n，再累加即可．
【解析】
f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）f′（x）==，令g（x）=2x2-ax+1，则g（0）=1．
①当a≤0时，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，若△=a2-8≤0，即0＜a≤2，g（x）≥0，所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞0时，若△=a2-8＞0，即a＞时，令g（x）=0，得x=＞0，
由g′（x）＜0，即f′（x）＜0，得＜x＜；由g′（x）＞0，即f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞．
此时，f（x）的单调减区间是（，），单调增区间（0，），（，+∞）．
综上，当a≤时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＞时，f（x）的单调减区间是（，），单调增区间（0，），（，+∞）．
（2）由f（x）≤2x2，可得lnx-x2-ax≤0（x＞0），则当x＞0时，a≥-x恒成立，
令h（x）=-x（x＞0），则h′（x）=-1=，
令k（x）=1-x2-lnx（x＞0），则当x＞0时，k′（x）=-2x-＜0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．
又k（1）=0，所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）max=h（1）=-1，所以a≥-1．
（3）令r（x）=lnx-，则r′（x）=-=＞0，所以r（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞1时，r（x）＞r（1），即lnx-＞0，lnx＞，令x=1+，则有ln（1+）＞=，
故ln（1+1）＞，ln（1+）＞，ln（1+）＞，…，ln（1+）＞，累加上式，得ln（n+1）＞+++…+．
故（n∈N*）．