Question

已知函数
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（I）a=1时，可求得切线的斜率k=f′（0）及f（0），从而利用直线的点斜式可得函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程；
（II）求得f′（x）═（ax2+）eax，讨论ax2+的符号，即可研究函数的单调性．
【解析】
（I）a=1时，f（x）=（x2-2x+1）ex，f′（x）=（x2-1）ex，
于是f（0）=1，f′（0）=-1，
所以函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0．
（II）f′（x）=（2x-）eax+（x2-x+）•a•eax
=（2x-+ax2-2x+1）eax
=（ax2+）eax，
∵a＞0，eax＞0，
∴只需讨论ax2+的符号．
ⅰ）当a＞2时，ax2+＞0，这和f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a=2时，f′（x）=2x2e2x≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅲ）当0＜a＜2时，令f′（x）=0，解得x1=-，x2=．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，）， - （-，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴f（x）在（-∞，），（，+∞）为增函数，f（x）在（-，）为减函数；