Question

已知数列{a_n}中，a₁=a（a＞2），对一切n∈N^*，a_n＞0，．
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：a_n+1＜a_n．

Answer

（1）利用数学归纳法证明，当n=1时结论成立，第二步假设n=k时结论成立，证明n=k+1时不等式也成立即可；
（2）结合（1）的结论，可利用作商比较法证明．
证明：（1）证明：用数学归纳法证明，
①当n=1，a1=a＞2，结论成立．
②假设当n=k（k≥2）时结论成立，即ak＞2，
那么当n=k+1时，a k+1-2=-2==＞0，即ak+1＞2，
由①②可知，n∈N*时都有an＞2．
（2）当an＞2时，==＜=1，所以an+1＜an．