Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，G分别是BC₁和AA₁的中点，
（Ⅰ）证明EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取BC的中点F，连接EG，EF，AF，证明四边形AGEF是平行四边形，可得EG∥AF，利用线面平行的判定，可得EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）连接DF，由（Ⅰ）知，∠EDF为直线DE与平面ABCD所成角，进而可求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．
（Ⅰ）证明：取BC的中点F，连接EG，EF，AF，
则AG∥EF，且AG=EF
∴四边形AGEF是平行四边形
∴EG∥AF
又∵EG⊄平面ABCD，AF⊂平面ABCD
∴EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）【解析】
连接DF，由（Ⅰ）知，∠EDF为直线DE与平面ABCD所成角
∵正方体的棱长为2，∴EF=1，DF==
∴DE==
∴直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为==．