Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（I） 当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，在区间[-1，0]上是否存在实数k使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer

（I）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，且f′（x）=-3x2+4x-1，f′（2）=-5．由此能求出曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程．
（Ⅱ）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，f′（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．令f′（x）=0，解得x=，或x=a．由a的符号进行分类讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅲ）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．由a＞3，得，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是减函数，知要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）≥f（k2-cos2x），x∈R，只要k-cosx≤k2-cos2x，（x∈R）．由此能推导出在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（x-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．…13分．
【解析】
（I）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，
且f′（x）=-3x2+4x-1，f′（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．…3分
（Ⅱ）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，
f′（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=，或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当变化时，f′（x）的正负如下表：

x （-∞，） （，a） a （a，+∞）
f′（x） ↓ ↑ ↓

因此，函数f（x）在x=处取得极小值f（），且f（）=-a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…5分
（2）若a＜0，当变化时，f′（x）的正负如下表：

x （-∞，a） a （a，） （）
f′（x） ↓ ↑ ↓

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在x=处取得极大值f（），且f（）=-a3． …8分
（Ⅲ）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．
由a＞3，得，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，
k2-cos2x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）≥f（k2-cos2x），x∈R
只要k-cosx≤k2-cos2x，（x∈R）
即cos2x-cosx≤k2-k，（x∈R）①
设g（x）=cos2x-cosx=（cosx-）2-，则函数g（x）在R上的最大值为-．
要使①式恒成立，必须k2-k≥2，即k≥2，或k≤-1．
所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，
使得f（x-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．…13分．