根据已知结合等差数列的性质,求出数列的公差d,进而求出数列的前n项的是Sn的最大值是S,由函数y=f(x)满足f(1+x)=f(5-x)对任意实数x都成立,分析也函数图象关于直线x=3对称,即函数y=f(x)所有零点的平均数为3,进而求出函数零点的个数.
【解析】
设数列{an}的公差为d,则d∈Z
∵S11=11•a6≥0,
∴a6=a1+5d=15+5d≥0,
解得d≥-3…①
又∵S12=•12=•12=180+66d<0,
解得d<…②
由①②得d=-3
则Sn=n2+n
则当n=5或n=6时,Sn的最大值是S=45
∵函数y=f(x)满足f(1+x)=f(5-x)对任意实数x都成立
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称
即函数y=f(x)所有零点的平均数为3
又∵y=f(x) 的所有零点和恰好为S=45
∴y=f(x)的零点共有=15个
故答案为:15