Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）当PD=1时，求此四棱锥的表面积．

Answer

（1）通过证明BD⊥DC，BD⊥PD，证明BD⊥平面PDC，然后推出BD⊥PC；
（2）利用PD⊥平面ABCD，证明AB⊥平面PAD，分别求出SRt△PAB，S△PBC，SRt△PDA，SRt△PDC，S梯形ABCD，然后求出四棱锥的表面积．
【解析】
（1）证明：由题意可知DC=2，则，
BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BD⊥PD，而PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PDC．∵PC⊂平面PDC，
∴BD⊥PC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，即是直角三角形．
．
过D作DH⊥BC于点H，连接PH，
则同理可证PH⊥BC．并且PH==2，
．
易得，
，
．
故此四棱锥的表面积为：
SRt△PAB+S△PBC+SRt△PDA+SRt△PDC+S梯形ABCD
==．