Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD，E是PA的中点．
（I）求证：DE∥平面PBC；
（II）求证：AD⊥PB．

Answer

（I）取PB中点F，连接EF，FC，得到EF，由CD，知EFCD，故EFCD是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．
（II）由PD⊥底面ABCD，AD⊂面ABCD，知AD⊥PD，设BC=1，则CD=1，AB=2，由BC=CD，BC⊥CD，知BD=，∠DBC=45°，在△ABD中，AB=2，BD=，∠ABD=45°，由此能够证明AD⊥PB．
证明：（I）取PB的中点F，连接EF，FC，
∵E，F分别是PA，PB的中点，∴EF，
∵CD，∴EFCD，
∴EFCD是平行四边形，∴DE∥CF，
又∵CF⊂平面PBC，ED⊄平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（II）∵PD⊥底面ABCD，AD⊂面ABCD，
∴AD⊥PD，
设BC=1，∵AB=2BC=2CD，∴CD=1，AB=2，
∵BC=CD，BC⊥CD，
∴BD=，∠DBC=45°，
在△ABD中，AB=2，BD=，∠ABD=45°，
∴=4+2-2=2，
∴AD=，
由AD2+BD2=AB2，得∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
∵PB⊂面PBD，
∴AD⊥PB．