Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点图角上的点，曲线C上是否存在点M（x，y）满足：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．

Answer

（I）f（x）的定义域是（0，+∞），对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（II）假设存在满足条件的点M，根据A在曲线C上，求出直线AB的斜率，根据导数与斜率的关系KAB=f′（x），对其进行化简，从而进行判断；
【解析】
（I）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=-ax=，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜
f（x）在（0，）内单调递增，
由f′（x）＜0和x＞0得x＞，f（x）在（，+∞）内单调递减，
综上所述：当a＞0时，f（x）的单调增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）；
（II）假设存在满足条件的点M，
∵A在曲线C上，∴KAB==，
f′（x）=-ax，
∴f′（x）=f′（）=-a•，由已知KAB=f′（x），
∴=，
化简整理可得lnx1==2-，
即lnx1+＞2
∴lnx1+＞2
∴lnx1=2-不成立，即满足条件的点M是不存在的；