Question

设f（x）的定义域为，且，f（x）为奇函数，当时，f（x）=3^x．
（1）求；
（2）当时，求f（x）的表达式；
（3）是否存在这样的正整数k，使得当时，关于x的不等式有解？

Answer

（Ⅰ） 由，可得f（x）的周期为T=2，从而得到．
（Ⅱ）当时，可得 ，f（2k+1-x）=32k+1-x．再由已知条件求得f（x）的解析式．
（Ⅲ）假设存在这样的正整数k，问题等价于 x2-（k+1）x+1＜0有解，故△=k2+2k-3=（k-1）（k+3）＞0，分k=1和k＞1两种情况进行研究，可得不存这样的正整数k．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，∴f（x）的周期为T=2．…（2分）
故 ．…（5分）
（Ⅱ）当时，有 ，∴，∴f（2k+1-x）=32k+1-x．
又∵，∴f（x）=3x-2k-1（k∈Z）．…（10分）
（Ⅲ）假设存在这样的正整数k，由（Ⅱ）得，等价于x-2k-1＞x2-kx-2k，
即x2-（k+1）x+1＜0有解，∵△=k2+2k-3=（k-1）（k+3）＞0．
①若k=1时，则△=0，x2-（k+1）x+1＜0无解．
②若k＞1且k∈Z时，x2-（k+1）x+1＜0的解为 ，∴x∈∅．
故不存这样的正整数k．…（14分）