Question

数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=4，a_n+1=2S_n-2n+4．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）设，数列{b_n}前n项和为T_n，求证：8T_n＜1．

Answer

（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可证数列{an-1}为等比数列；
（2）确定数列{bn}的通项，利用裂项法求前n项和为Tn，即可证得结论．
证明：（1）∵an+1=2Sn-2n+4，∴n≥2时，an=2Sn-1-2（n-1）+4
∴n≥2时，an+1=3an-2（2分）
又a2=2S1-2+4=10，∴n≥1时an+1=3an-2（4分）
∵a1-1=3≠0，∴an-1≠0，
∴，∴数列{an-1}为等比数列 （6分）
（2）由（1），∴，
∴（9分）
∴=（11分）
∴，
∴8Tn＜1（12分）