Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

Answer

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，利用已知表达式求出f（-x），再由奇函数的性质可求f（x），f（0）=0，从而可得f（x）的解析式；
（2）任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，比较f（x2）与f（x1）的大小，若f（x2）＞f（x1），则为增函数，若f（x2）＜f（x1），则为减函数．
【解析】
（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故，
又f（x）为奇函数，所以，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=．
（2）【解析】
f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则，
因为y=2x在x∈R上递增，且0＜x1＜x2，
所以，
因此f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（0，1）上单调递增．