Question

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；
（II）先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；
（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．
【解析】
（I）依题意：h（x）=lnx+x2-bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴对x∈（0，+∞）恒成立，
∴，∵x＞0，则．
∴b的取值范围是．
（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，ymin=b+1；当1＜-＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-时，；
，即b≤-4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，ymin=4+2b．
综上所述：
（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为．
C1在点M处的切线斜率为．
C2在点N处的切线斜率为．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
即．则
=，
∴设，则，（1）
令，则，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！