Question

设函数f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=（ ）
A．0
B．7
C．14
D．21

Answer

根据f（x）=（x-3）3+x-1，可得f（x）-2=（x-3）3+x-3，构造函数g（x）=f（x）-2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，可得g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，从而g（a4）为g（x）与x轴的交点，由此可求a1+a2+…+a7的值．
【解析】
∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2
∴g（x）关于（3，0）对称
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故选D．