Question

设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=2n+1，则（ ）
A．f（1）=3，f（2）=4
B．f（1）=2，f（2）=3
C．f（2）=4，f（4）=5
D．f（2）=3，f（3）=4

Answer

利用函数单调递增及n∈N*时，f（n）∈N*，对选项进行筛选可求得答案．
【解析】
由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．
∵当n∈N*时，f（n）∈N*，
若f（1）=3，则由f[f（1）]=3得：f（3）=3，与单调递增矛盾，故选项A错；
若f（2）=4，f（4）=5，则4＜f（3）＜5，与f（3）∈N*矛盾，故选项C错；
若f（2）=3，则由f[f（2）]=5得f（3）=5，故选项D错；
事实上，若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，矛盾；
若f（1）=m，m≥3，m∈N*，则f（m）=3，于是f（1）=m≥3=f（m），
这与f（x）在（0，+∞）上单调递增矛盾，
∴必有f（1）=2，故f（2）=3．
故选B．