Question

已知函数f（x）=lnx
①当0＜a＜b时，求证：
②设点P（0，1），求点P到f（x）图象上点的最近距离．

Answer

①（a）-f（b）=lnb-lna=ln=-ln=-ln（1+），由（1）知ln（1+x）≤x，f（b）-f（a）≥-=，利用基本不等式即可证得结论．
②求出函数f（x）=lnx的反函数为f-1（x）=ex，根据互为反函数的图象关于直线y=x对称，由f（x）在（1，0）点的导数为1，f-1（x）在（0，1）点的导数为1，均与对称轴的斜率相等，可得故（1，0）点和（0，1）点是函数f（x）与函数f-1（x）的图象上所有对称点中距离最近的一组，进而求出点P到f（x）图象上点的最近距离
证明：①f（a）-f（b）=lnb-lna=ln=-ln=-ln（1+）
由（1）知ln（1+x）≤x，f（b）-f（a）≥-=
又∵0＜a＜b，
∴a2+b2＞2ab，
∴＞
∴＞
∴f（b）-f（a）＞
【解析】
②函数f（x）=lnx的反函数为f-1（x）=ex其图象过（0，1）点
且函数f（x）与函数f-1（x）的图象关于直线y=x对称
由f（x）在（1，0）点的导数为1，f-1（x）在（0，1）点的导数为1，均与对称轴的斜率相等
故（1，0）点和（0，1）点是函数f（x）与函数f-1（x）的图象上所有对称点中距离最近的一组
故点P到f（x）图象上点的最近距离，即为（1，0）点和（0，1）点的距离