Question

已知正项数列{a_n}满足
①求{a_n}通项公式；
②若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和S_n
③若数列{c_n}满足，其前n项和为T_n，证明．

Answer

①对数列递推式化简，再叠乘，即可求{an}通项公式；
②确定数列通项，利用倒序相加法，即可求得结论；
③n≤2时，n结论成立；n≥4时，n!＞2 n，即可证得结论．
①【解析】
∵
∴（an+1+an）[an+1-（n+1）an]=0
∵{an}是正项数列，
∴an+1-（n+1）an=0
∴=n+1
∴=2，=3，…，=n
∵a1=1，∴叠乘可得an=n!；
②【解析】
==（2k-1）•
∴Sn=+3+…+（2n-1）•，
倒序可得Sn=（2n-1）•+…+3+
相加可得：2Sn=（2n-1）•+（2n-2）•+…+（2n-2）•+（2n-1）•=2+（2n-2）•2n
∴Sn=1+（n-1）•2n；
③证明：=，
n≤2时，n结论成立；n≥4时，∴n!＞2 n，
∴其前n项和为Tn＜1++++…+=＜
即．