Question

设函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由题意可得 u=ax2+2x+1＞0恒成立，可得 ，解得 a＞1，由此求得实数a的取值范围．
（2）若f（x）的值域是R，则函数 u=ax2+2x+1能够取遍所有的正数，分a＜0、a=0、a＞0三种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，即得所求．
【解析】
（1）若f（x）=lg（ax2+2x+1）的定义域是R，∴u=ax2+2x+1＞0恒成立．
当 a=0或a＜0不合题意，∴，解得 a＞1，故实数a的取值范围是（1，+∞）．
（2）若f（x）的值域是R，则函数 u=ax2+2x+1能够取遍所有的正数．
当a＜0时不合题意；a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数．
a＞0时，由其判别式△=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
综上可得，当0≤a≤1时f（x）的值域是R．