Question

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer

（1）已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+（3m+6）x+1其中m＜0，对其进行求导，因为f（x）的单调增区间是（0，1），说明f′（x）≥0，在（0，1）上恒成立，从而求出m的值；
（2）设M（x，y）为y=f（x）（-1≤x≤1）图象上任意一点，切线斜率K=f′（x）=3m-6（m+1）x+（3m+6）＞3m，将问题转化为3m-6（m+1）x+6＞0在x∈[-1，1]，m＜0）则（g（x））min＞0，再利用导数研究函数的最值问题，求m的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=mx3-3（m+1）x2+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=mx2-6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因为f（x）的增区间是（0，1）
则f′（x）=3mx2-6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集为（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m-6（m+1）+3m+6=0
解得m=-2                                             （4分）
（2）设M（x，y）为y=f（x）（-1≤x≤1）图象上任意一点
切线斜率K=f′（x）=3m-6（m+1）x+（3m+6）＞3m，
即3m-6（m+1）x+6＞0在x∈[-1，1]，m＜0）则（g（x））min＞0，
g（x）=3m-6（m+1）x+6的对称轴为x==1+＜1
①当1+≤0即-1≤m＜0时，（g（x））min=g（1）=-3m＞0，∴-1≤m＜0；
②当0＜1+＜1即m＜-1时，（g（x））min=g（-1）=9m+12＞0，此时无解，
综上所述：m的取值范围：（-1，0）；