Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（文）（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x，求证：（其中n∈N^*，e是自然对数的底数）．
（Ⅲ）求证：（其中n∈N^*，e是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，等价于ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可，分类讨论，可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用裂项法，结合对数的运算法则，可证结论．
（Ⅰ）【解析】
当时，（x＞-1），（x＞-1），
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）【解析】
因当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．（5分）
由=，
（ⅰ）当a=0时，，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）当a＞0时，由，因x∈[0，+∞），所以，
①若，即时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）
（ⅲ）当a＜0时，由，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）证明：据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立（11分）
又，
∵===，
∴．（14分）