Question

抛物线C：y=ax²的准线为y=，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A，B，|AB|=1．
（1）求a的值；
（2）求P点的轨迹．

Answer

（1）根据抛物线的准线方程确定抛物线方程，即可求得a的值；
（2）先求出切线方程，得出A，B的坐标，利用|AB|=1，可得轨迹方程，从而可得P点的轨迹．
【解析】
（1）由已知：抛物线的准线为y=，
∴，∴p=1…（2分）
∴抛物线为x2=2y即，
∴…（5分）
（2）设
∵，∴y′=x，∴kPM=x1
直线PM：，即
令y=0得即
同理PN：，…（9分）
由得
∵|AB|=1，∴，∴
∴（2x）2-8y=4即…（12分）
∴P的轨迹方程为，轨迹是一条抛物线       …（13分）