Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①≤a_n+1，②a_n≤M．其中n∈N⁺，M是与n无关的常数．
（1）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，证明：{b_n}∈W；
（2）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₄=2，S₄=20，证明：{S_n}∈W并求M的取值范围．

Answer

（1）由bn=5n-2n，分别代入：①≤an+1，②an≤M．验证是否成立，进而可判断{bn}∈W
（2）根据等差数列{an}满足a4=2，S4=20，构造方程可求出其首项和公差，进而得到其通项公式和前n项和公式，将{Sn}，代入：①≤an+1，②an≤M．验证是否成立，进而可判断{Sn}∈W，根据二次函数的图象和性质可得W的取值范围．
证明：（1）
又…（3分）
∵
∴当n≤2时bn+1＞bn，
当n≥3时bn+1＜bn，
∴当n=3时，{bn}取得最大值7
∴bn≤7，由已知{bn}∈W…（6分）
（2）由已知：设an=a1+（n-1）d
∵a4=2，s4=20
∴a1+3d=4，4a1+6d=20
得∴a1=8，d=-2，
∴an=10-2n，
…（8分）
∴
又，
∴…（10分）

又∵n∈N+，
∴当n=4或5时，{sn}取得最大值20
∴sn≤20…（13分）
∴{sn}∈W且M≥20
∴M的取值范围为M≥20…（14分）