Question

已知函数f（x）=．
（1）若，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．

Answer

（1）求出原函数，可得定积分，即可求得a的值；
（2）先求出定积分，再构建函数，即可证明；
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x的函数值f（x）与该区间长度的积．
【解析】
（1）∵，∴…（3分）
（2）
设，∴…（5分）
下面证明a∈[1，t]：
设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）

设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x的函数值f（x）与该区间长度的积，即其中x∈[a，b]…（14分）