Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，BB₁⊥平面ABC
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer

（I）取BC中点O，连接AO． 可由面面垂直的性质得到AO⊥平面B1C1CB，令B1C1中点为O1，以0为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出向量，，的坐标，用向量法可得⊥，⊥，进而由线面垂直的判定定理得到AB1⊥平面A1BD；
（II）求出平面AA1D的法向量，结合（I）中结论为平面A1BD的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-A1D-B的余弦值；
（Ⅲ）由（I）中为平面A1BD的法向量，求出向量的坐标，代入，可得点C到平面A1BD的距离．
【解析】
（I）取BC中点O，连接AO． 
∴△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面B1C1CB，
∴AO⊥平面B1C1CB，
取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），
∴=（1，2，-），=（-2，1，0），=（-1，2，）．
∵•=-2+2=0，•=-1+4-3=0
∴⊥，⊥
∴AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）设平面AA1D的法向量为=（x，y，z）．
∵=（-1，1，-），=（0，2，0）．⊥，⊥，
∴，即
令z=1得=（，0，1）
由（I）知AB1⊥平面A1BD，
∴为平面A1BD的法向量．
∴
∴二面角A-A1D-B的余弦值为．
（3）由（2），为平面A1BD的法向量，
又∵=（-2，0，0），=（1，2，-），．
∴点C到平面A1BD的距离．