Question

已知奇函数函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，
（1）求f（-2）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

Answer

（1）由函数f（x）为奇函数，x＞0时，，能求出f（-2）．
（2）设x＜0，则-x＞0，故，再由函数f（x）为奇函数，能求出x＜0时，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x1＜x2，由f（x1）-f（x2）=，能证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
【解析】
（1）∵函数f（x）为奇函数，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
x＞0时，
∴…（4分）
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴…（6分）
∵函数f（x）为奇函数
∴当x＜0时，…（9分）
（3）证明：任意0＜x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=-+1-（-+1）
==．
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上为增函数．