Question

已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之．

Answer

（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．
（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（-x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．
（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．
【解析】
f（x）==1-
（1）∵e2x+1恒大于零，
∴x∈R
（2）函数是奇函数
∵f（-x）==
又由上一问知函数的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（3）是一个单调递增函数
设x1，x2∈R  且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=1-=
∵x1＜x2，
∴
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R是单调增函数