Question

定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x₁、x₂，且x₁≠x₂，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

Answer

（1）写出的函数是下凹的函数即可；
（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要证明＞0即可；
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则＞0，只需要2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即，故可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）（或其它底在（0，1）上的对数函数）．…（2分）
（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…（4分）
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
则==
∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，2x1•x2（x1+x2）＞0
即＞0，
∴
所以函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…（8分）
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2
则===
∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，4x1•x2（x1+x2）＞0
要使上式大于零，必须2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，
即，
∴a≤1，
即实数a的取值范围为（-∞，1]…（14分）