Question

已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．
（1）若a=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}唯一，求a的值．

Answer

（1）设等比数列{an}的公比为q，根据“b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3．且{bn}为等比数列”由等比中项，可解得公比，从而求得通项．
（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）整理得：aq2-4aq+3a-1=0，易知方程有一零根，从而求得结果．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，
又∵b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3．且{bn}为等比数列
∴（2+q）2=2（3+q2）
∴q=2±
∴
（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）
整理得：aq2-4aq+3a-1=0
∵a＞0，∴△=4a2+4a＞0
∵数列{an}唯一，∴方程必有一根为0，得a=