Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）利用数列{an}的前n项和Sn=1-an，，再写一式，两式相减可得数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，从而可得数列{an}的通项公式；利用公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项，可求首项，从而可得{bn}的通项公式；
（II）cn=anbn=（3n-2）•，利用错位相减法，可得结论．
【解析】
（I）∵数列{an}的前n项和Sn=1-an，∴n≥2时，Sn-1=1-an-1，
∴两式相减可得an=an-1-an，∴=（n≥2）
∵n=1时，S1=1-a1，∴a1=
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列
∴an=；
∵公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项
∴（b1+3）2=b1•（b1+15）
∴b1=1
∴bn=1+3（n-1）=3n-2
（II）cn=anbn=（3n-2）•
∴Tn=1•+4•+…+（3n-2）•
∴Tn=1•+4•+…+（3n-5）•+（3n-2）•
两式相减可得Tn=1•+3•+3•+…+3•-（3n-2）•=2-（3n+4）•
∴Tn=4-（6n+8）•．