Question

已知函数，．
（I）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ III）证明：对任意的n∈N^*成立．

Answer

（I）a=2，代入f（x），利用导数研究函数的单调性问题；
（II）已知函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，将问题转化为F′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，再利用常数分离法进行证明；
（III）要证明，可以令新的函数f（x）=2x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，对其进行求导，利用导数研究其导数，利用导数研究其最值，从而求解；
【解析】
（I）a=2，可得，
可得f′（x）==，（x＞0）
若f′（x）＞0，可得x＞，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，可得0＜x＜，f（x）为减函数；
函数f（x）的单调增区间：（，+∞]；
函数f（x）的单调减区间：（0，）；
（II）函数F（x）=f（x）-g（x）=+ax+lnx--3lnx
=+ax-2lnx-
F′（x）=+a-+=≥0，
在区间[1，+∞）上大于等于0，
等价于-1+ax2-2x+a+1≥0，
可得a≥，求y=的最大值即可，
因为y在[1，+∞）上为减函数，所以y≤=1，
∴a≥1；
（ III）令f（x）=2x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1）
可得f′（x）=2x+1ln2--2xln2-ln2
=ln2（2x+1--2x-1），
令g（x）=2x+1--2x-1，
∴g′（x）=2x+1ln2+-2，x≥1，
可得g′（x）＞g′（1）=4ln2+-2＞0，
g（x）为增函数，g（x）＞g（1）=4-2-1=，
∴f（x）为增函数，
∴f（x）＞f（1）=4+-2ln2+3=-2ln2＞0，
∴，即证；